Prima di tutto è meglio chiarire:
SQL non è un database, ma il linguaggio di programmazione dei database, infatti è l'acronimo di Structured Query Language.
Un database può usare un proprio dialetto, cioè un'estensione dei comandi del SQL; ad esempio SQL Server di Microsoft usa il T-SQL.
Di database ce ne sono a bizzeffe, ti basta vedere l'elenco nel famosissimo sito:
in cui sono indicate tutte le varie stringhe di connessione ai diversi database (che esulano dall'ambiente di progettazione/linguaggio utilizzato per sviluppare un'applicazione).
Quale database utilizzare dipende dalle tue esigenze, ovvero dal tipo di applicazioni che intendi realizzare (desktop, web, multiusers, singleuser, ...) ed in base a queste esigenze si sceglie il tipo di database.
Considera che se usi VB.NET diventa più semplice ed immediato usare SQL Server Express, in questo caso scaricati la versione più completa che comprende anche il SQL Server Management Studio (SSMS) strumento indispensabile per creare/gestire database e relativi oggetti (tabelle, campi, indici, stored procedure, trigger, ...).
In seconda battuta potrai anche installare altri database come MySQL, PostgreSQL, Firebird, ... fino ad arrivare ai 'colossi' come Oracle e IBM-DB2 (solo per citarne alcuni).