"girare il sito" non significa un granchè.
ci sono due casi
1) hai un accesso da console alla macchina.
in questo caso ti basta fermare il server mysql, copiare i file (che poi corrispondono alle tabelle myisam) nella cartella data "nuova", riavviare il server
2) non lo hai, hai solo phpmyadmin o qualcosa del genere.
in tal caso devi
- installarti in locale un tuo mysql
- in qualche modo prendere la cartella data
- fare come (1) in locale
- creare un backup phpmysql e poi caricarlo sul sito remoto