Esistono due modi per connessioni mysql: quella più usata è su porta TCP, quindi ti serve una coppia IP:porta, che è 3306 (se non cambiata).
Il computer X, che sia in locale o internet non importa, deve consentire connessioni sulla porta 3306. Se non le consente (perchè non c'è il NAT, oppure c'è un firewall, oppure il demone mysqld non è attivo, oppure ...) non potrai connetterti.
Il modo più rapido, e brutale, è quello di provare con un
telnet ip 3306
se riesci a connetterti (al di là di tutto), significa che ESISTE un server mysql all'indirizzo IP che risponde alla porta 3306.
Se non ce la fai, i pacchetti vengono scartati, allora manca il NAT, c'è il firewall, non va il servizio etc.