Allora innanzitutto la variabile c dovrebbe essere un char, poi serve un solo ciclo while, non due annidati, che termina quando inserisci eof, cioè ctrl+z su una nuova riga
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <ctype.h>
#define MAX 100
int main ()
{
int i=0,j=0;
char c,seq[MAX];
printf ("Inserisci le sequenze:\n");
do
{
c = getchar ();
seq[i]=c;
i++;
} while (c != EOF);
for (j=0;j<i-1;j++)
printf("%c",seq[j]);
getc (stdin);
return 0;
}