Ciao,
E' sufficiente aprire un file e scriverci dentro (chiudendolo quando hai finito).
Se non hai problemi ad usare la stdio, la funzione fopen() apre il file, la fprintf() è analoga alla printf, ma stampa su file, la fclose() chiude.
Altrimenti puoi usare uno stream del namespace std... le operazioni sono sostanzialmente le stesse (apertura,scrittura,chiusura), eccettuato il fatto che per la scrittura viene riscritto l'operatore << che permette una sintassi simile a quella usata per cin e cout.
Ovviamente il logging va fatto parallelamente al normale output se vuoi mantenere anche quello... altrimenti può essere sufficiente trasformare le printf in fprintf (o le cout<< in stream<<). In quest'ultimo caso addirittura, trattandosi di un'applicazione console, puoi invocare il programma redirigendo direttamente l'output su un file con il comando "nome_programma" > "nome_file"
Ciaociao