Un modo simpatico potrebbe essere questo, ma vista l'ora è più facile del solito che sbagli qualcosa :
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
//Frase ha dimensione 82 perché fgets inserisce automaticamente un \n alla fine della stringa
char frase[82],*p,*s,c;
puts("Inserisci la frase (Max 80 caratteri):");
fgets(frase,82,stdin);
frase[strlen(frase)-1]='\0';
puts("Inserisci il carattere da rimuovere:");
c=getchar();
for (s=p=frase;*p=*s;p+=(*s++!=c));
printf("Risultato: %s\n",frase);
return 0;
}
Comunque la prima cosa che salta agli occhi è che dovresti rivedere le principali funzioni di libreria.
Ad esempio per stampare una stringa è sufficiente un printf("%s",str); anziché stampare carattere per carattere, come per l'input è decisamente meglio usare fgets.